3.362 \(\int \cosh ^3(e+f x) (a+b \sinh ^2(e+f x))^{3/2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=157 \[ -\frac{a^2 (a-6 b) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \sinh (e+f x)}{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}\right )}{16 b^{3/2} f}+\frac{\sinh (e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{5/2}}{6 b f}-\frac{(a-6 b) \sinh (e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{24 b f}-\frac{a (a-6 b) \sinh (e+f x) \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{16 b f} \]

[Out]

-(a^2*(a - 6*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]])/(16*b^(3/2)*f) - (a*(a - 6*b)*Si
nh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(16*b*f) - ((a - 6*b)*Sinh[e + f*x]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2))/(2
4*b*f) + (Sinh[e + f*x]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2))/(6*b*f)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.128896, antiderivative size = 157, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 5, integrand size = 25, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.2, Rules used = {3190, 388, 195, 217, 206} \[ -\frac{a^2 (a-6 b) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \sinh (e+f x)}{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}\right )}{16 b^{3/2} f}+\frac{\sinh (e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{5/2}}{6 b f}-\frac{(a-6 b) \sinh (e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{24 b f}-\frac{a (a-6 b) \sinh (e+f x) \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{16 b f} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Cosh[e + f*x]^3*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2),x]

[Out]

-(a^2*(a - 6*b)*ArcTanh[(Sqrt[b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]])/(16*b^(3/2)*f) - (a*(a - 6*b)*Si
nh[e + f*x]*Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2])/(16*b*f) - ((a - 6*b)*Sinh[e + f*x]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2))/(2
4*b*f) + (Sinh[e + f*x]*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(5/2))/(6*b*f)

Rule 3190

Int[cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(m_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{ff = Free
Factors[Sin[e + f*x], x]}, Dist[ff/f, Subst[Int[(1 - ff^2*x^2)^((m - 1)/2)*(a + b*ff^2*x^2)^p, x], x, Sin[e +
f*x]/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, e, f, p}, x] && IntegerQ[(m - 1)/2]

Rule 388

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[(d*x*(a + b*x^n)^(p + 1))/(b*(n*
(p + 1) + 1)), x] - Dist[(a*d - b*c*(n*(p + 1) + 1))/(b*(n*(p + 1) + 1)), Int[(a + b*x^n)^p, x], x] /; FreeQ[{
a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[n*(p + 1) + 1, 0]

Rule 195

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(x*(a + b*x^n)^p)/(n*p + 1), x] + Dist[(a*n*p)/(n*p + 1),
Int[(a + b*x^n)^(p - 1), x], x] /; FreeQ[{a, b}, x] && IGtQ[n, 0] && GtQ[p, 0] && (IntegerQ[2*p] || (EqQ[n, 2
] && IntegerQ[4*p]) || (EqQ[n, 2] && IntegerQ[3*p]) || LtQ[Denominator[p + 1/n], Denominator[p]])

Rule 217

Int[1/Sqrt[(a_) + (b_.)*(x_)^2], x_Symbol] :> Subst[Int[1/(1 - b*x^2), x], x, x/Sqrt[a + b*x^2]] /; FreeQ[{a,
b}, x] &&  !GtQ[a, 0]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \cosh ^3(e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2} \, dx &=\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \left (1+x^2\right ) \left (a+b x^2\right )^{3/2} \, dx,x,\sinh (e+f x)\right )}{f}\\ &=\frac{\sinh (e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{5/2}}{6 b f}-\frac{(a-6 b) \operatorname{Subst}\left (\int \left (a+b x^2\right )^{3/2} \, dx,x,\sinh (e+f x)\right )}{6 b f}\\ &=-\frac{(a-6 b) \sinh (e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{24 b f}+\frac{\sinh (e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{5/2}}{6 b f}-\frac{(a (a-6 b)) \operatorname{Subst}\left (\int \sqrt{a+b x^2} \, dx,x,\sinh (e+f x)\right )}{8 b f}\\ &=-\frac{a (a-6 b) \sinh (e+f x) \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{16 b f}-\frac{(a-6 b) \sinh (e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{24 b f}+\frac{\sinh (e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{5/2}}{6 b f}-\frac{\left (a^2 (a-6 b)\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{\sqrt{a+b x^2}} \, dx,x,\sinh (e+f x)\right )}{16 b f}\\ &=-\frac{a (a-6 b) \sinh (e+f x) \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{16 b f}-\frac{(a-6 b) \sinh (e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{24 b f}+\frac{\sinh (e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{5/2}}{6 b f}-\frac{\left (a^2 (a-6 b)\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-b x^2} \, dx,x,\frac{\sinh (e+f x)}{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}\right )}{16 b f}\\ &=-\frac{a^2 (a-6 b) \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \sinh (e+f x)}{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}\right )}{16 b^{3/2} f}-\frac{a (a-6 b) \sinh (e+f x) \sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)}}{16 b f}-\frac{(a-6 b) \sinh (e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{3/2}}{24 b f}+\frac{\sinh (e+f x) \left (a+b \sinh ^2(e+f x)\right )^{5/2}}{6 b f}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 1.19984, size = 149, normalized size = 0.95 \[ \frac{\sqrt{a+b \sinh ^2(e+f x)} \left (\sqrt{b} \sinh (e+f x) \sqrt{\frac{b \sinh ^2(e+f x)}{a}+1} \left (2 b (7 a+6 b) \sinh ^2(e+f x)+3 a (a+10 b)+8 b^2 \sinh ^4(e+f x)\right )-3 a^{3/2} (a-6 b) \sinh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{b} \sinh (e+f x)}{\sqrt{a}}\right )\right )}{48 b^{3/2} f \sqrt{\frac{b \sinh ^2(e+f x)}{a}+1}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Cosh[e + f*x]^3*(a + b*Sinh[e + f*x]^2)^(3/2),x]

[Out]

(Sqrt[a + b*Sinh[e + f*x]^2]*(-3*a^(3/2)*(a - 6*b)*ArcSinh[(Sqrt[b]*Sinh[e + f*x])/Sqrt[a]] + Sqrt[b]*Sinh[e +
f*x]*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a]*(3*a*(a + 10*b) + 2*b*(7*a + 6*b)*Sinh[e + f*x]^2 + 8*b^2*Sinh[e + f*x]^
4)))/(48*b^(3/2)*f*Sqrt[1 + (b*Sinh[e + f*x]^2)/a])

________________________________________________________________________________________

Maple [C]  time = 0.085, size = 77, normalized size = 0.5 \begin{align*}{\frac{1}{f}\mbox{{\tt ` int/indef0`}} \left ({({b}^{2} \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{6}+ \left ( 2\,ab+{b}^{2} \right ) \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{4}+ \left ({a}^{2}+2\,ab \right ) \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}+{a}^{2}){\frac{1}{\sqrt{a+b \left ( \sinh \left ( fx+e \right ) \right ) ^{2}}}}},\sinh \left ( fx+e \right ) \right ) } \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cosh(f*x+e)^3*(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(3/2),x)

[Out]

`int/indef0`((b^2*sinh(f*x+e)^6+(2*a*b+b^2)*sinh(f*x+e)^4+(a^2+2*a*b)*sinh(f*x+e)^2+a^2)/(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(
1/2),sinh(f*x+e))/f

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (b \sinh \left (f x + e\right )^{2} + a\right )}^{\frac{3}{2}} \cosh \left (f x + e\right )^{3}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cosh(f*x+e)^3*(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((b*sinh(f*x + e)^2 + a)^(3/2)*cosh(f*x + e)^3, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 3.63228, size = 11570, normalized size = 73.69 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cosh(f*x+e)^3*(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/384*(6*((a^3 - 6*a^2*b)*cosh(f*x + e)^6 + 6*(a^3 - 6*a^2*b)*cosh(f*x + e)^5*sinh(f*x + e) + 15*(a^3 - 6*a^
2*b)*cosh(f*x + e)^4*sinh(f*x + e)^2 + 20*(a^3 - 6*a^2*b)*cosh(f*x + e)^3*sinh(f*x + e)^3 + 15*(a^3 - 6*a^2*b)
*cosh(f*x + e)^2*sinh(f*x + e)^4 + 6*(a^3 - 6*a^2*b)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^5 + (a^3 - 6*a^2*b)*sinh(f*x
+ e)^6)*sqrt(b)*log(-((a^2*b - 2*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^8 + 8*(a^2*b - 2*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)*sinh(f
*x + e)^7 + (a^2*b - 2*a*b^2 + b^3)*sinh(f*x + e)^8 + 2*(a^3 - 4*a^2*b + 5*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(f*x + e)^6 + 2*
(a^3 - 4*a^2*b + 5*a*b^2 - 2*b^3 + 14*(a^2*b - 2*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^6 + 4*(14*(a^2*b
- 2*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^3 + 3*(a^3 - 4*a^2*b + 5*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^5 + (9*a^2
*b - 14*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(f*x + e)^4 + (70*(a^2*b - 2*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^4 + 9*a^2*b - 14*a*b^2 + 6*
b^3 + 30*(a^3 - 4*a^2*b + 5*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^4 + 4*(14*(a^2*b - 2*a*b^2 + b^3)*co
sh(f*x + e)^5 + 10*(a^3 - 4*a^2*b + 5*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(f*x + e)^3 + (9*a^2*b - 14*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(f*x +
e))*sinh(f*x + e)^3 + b^3 + 2*(3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(14*(a^2*b - 2*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)
^6 + 15*(a^3 - 4*a^2*b + 5*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(f*x + e)^4 + 3*a*b^2 - 2*b^3 + 3*(9*a^2*b - 14*a*b^2 + 6*b^3)*c
osh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^2 + sqrt(2)*((a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)^6 + 6*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*
x + e)*sinh(f*x + e)^5 + (a^2 - 2*a*b + b^2)*sinh(f*x + e)^6 - 3*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 3*(5*(a
^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)^2 - a^2 + 2*a*b - b^2)*sinh(f*x + e)^4 + 4*(5*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e
)^3 - 3*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 - (4*a*b - 3*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + (15*(a^2 - 2*a*
b + b^2)*cosh(f*x + e)^4 - 18*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)^2 - 4*a*b + 3*b^2)*sinh(f*x + e)^2 - b^2 + 2*(
3*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)^5 - 6*(a^2 - 2*a*b + b^2)*cosh(f*x + e)^3 - (4*a*b - 3*b^2)*cosh(f*x + e))
*sinh(f*x + e))*sqrt(b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x +
e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)) + 4*(2*(a^2*b - 2*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^7 + 3*(a^3 - 4*a^2*b + 5*a*
b^2 - 2*b^3)*cosh(f*x + e)^5 + (9*a^2*b - 14*a*b^2 + 6*b^3)*cosh(f*x + e)^3 + (3*a*b^2 - 2*b^3)*cosh(f*x + e))
*sinh(f*x + e))/(cosh(f*x + e)^6 + 6*cosh(f*x + e)^5*sinh(f*x + e) + 15*cosh(f*x + e)^4*sinh(f*x + e)^2 + 20*c
osh(f*x + e)^3*sinh(f*x + e)^3 + 15*cosh(f*x + e)^2*sinh(f*x + e)^4 + 6*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^5 + sinh(f
*x + e)^6)) + 6*((a^3 - 6*a^2*b)*cosh(f*x + e)^6 + 6*(a^3 - 6*a^2*b)*cosh(f*x + e)^5*sinh(f*x + e) + 15*(a^3 -
6*a^2*b)*cosh(f*x + e)^4*sinh(f*x + e)^2 + 20*(a^3 - 6*a^2*b)*cosh(f*x + e)^3*sinh(f*x + e)^3 + 15*(a^3 - 6*a
^2*b)*cosh(f*x + e)^2*sinh(f*x + e)^4 + 6*(a^3 - 6*a^2*b)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^5 + (a^3 - 6*a^2*b)*sinh
(f*x + e)^6)*sqrt(b)*log((b*cosh(f*x + e)^4 + 4*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + b*sinh(f*x + e)^4 + 2*a*cosh
(f*x + e)^2 + 2*(3*b*cosh(f*x + e)^2 + a)*sinh(f*x + e)^2 + sqrt(2)*(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*
x + e) + sinh(f*x + e)^2 + 1)*sqrt(b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2
- 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)) + 4*(b*cosh(f*x + e)^3 + a*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) +
b)/(cosh(f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)) - sqrt(2)*(b^3*cosh(f*x + e)^10 + 10*b
^3*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^9 + b^3*sinh(f*x + e)^10 + (7*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^8 + (45*b^3*cosh(f*x +
e)^2 + 7*a*b^2 + b^3)*sinh(f*x + e)^8 + 8*(15*b^3*cosh(f*x + e)^3 + (7*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x +
e)^7 + (6*a^2*b + 39*a*b^2 - 8*b^3)*cosh(f*x + e)^6 + (210*b^3*cosh(f*x + e)^4 + 6*a^2*b + 39*a*b^2 - 8*b^3 +
28*(7*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^6 + 2*(126*b^3*cosh(f*x + e)^5 + 28*(7*a*b^2 + b^3)*cosh(f*
x + e)^3 + 3*(6*a^2*b + 39*a*b^2 - 8*b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^5 - (6*a^2*b + 39*a*b^2 - 8*b^3)*cosh(f
*x + e)^4 + (210*b^3*cosh(f*x + e)^6 + 70*(7*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^4 - 6*a^2*b - 39*a*b^2 + 8*b^3 + 15*(6
*a^2*b + 39*a*b^2 - 8*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^4 + 4*(30*b^3*cosh(f*x + e)^7 + 14*(7*a*b^2 + b^3)*c
osh(f*x + e)^5 + 5*(6*a^2*b + 39*a*b^2 - 8*b^3)*cosh(f*x + e)^3 - (6*a^2*b + 39*a*b^2 - 8*b^3)*cosh(f*x + e))*
sinh(f*x + e)^3 - b^3 - (7*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^2 + (45*b^3*cosh(f*x + e)^8 + 28*(7*a*b^2 + b^3)*cosh(f*
x + e)^6 + 15*(6*a^2*b + 39*a*b^2 - 8*b^3)*cosh(f*x + e)^4 - 7*a*b^2 - b^3 - 6*(6*a^2*b + 39*a*b^2 - 8*b^3)*co
sh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^2 + 2*(5*b^3*cosh(f*x + e)^9 + 4*(7*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^7 + 3*(6*a^2*b + 3
9*a*b^2 - 8*b^3)*cosh(f*x + e)^5 - 2*(6*a^2*b + 39*a*b^2 - 8*b^3)*cosh(f*x + e)^3 - (7*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x +
e))*sinh(f*x + e))*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*
sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)))/(b^2*f*cosh(f*x + e)^6 + 6*b^2*f*cosh(f*x + e)^5*sinh(f*x + e) + 15*b^2*f*c
osh(f*x + e)^4*sinh(f*x + e)^2 + 20*b^2*f*cosh(f*x + e)^3*sinh(f*x + e)^3 + 15*b^2*f*cosh(f*x + e)^2*sinh(f*x
+ e)^4 + 6*b^2*f*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^5 + b^2*f*sinh(f*x + e)^6), 1/384*(12*((a^3 - 6*a^2*b)*cosh(f*x +
e)^6 + 6*(a^3 - 6*a^2*b)*cosh(f*x + e)^5*sinh(f*x + e) + 15*(a^3 - 6*a^2*b)*cosh(f*x + e)^4*sinh(f*x + e)^2 +
20*(a^3 - 6*a^2*b)*cosh(f*x + e)^3*sinh(f*x + e)^3 + 15*(a^3 - 6*a^2*b)*cosh(f*x + e)^2*sinh(f*x + e)^4 + 6*(
a^3 - 6*a^2*b)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^5 + (a^3 - 6*a^2*b)*sinh(f*x + e)^6)*sqrt(-b)*arctan(sqrt(2)*((a -
b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(a - b)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + (a - b)*sinh(f*x + e)^2 + b)*sqrt(-b)*sqrt((b*cos
h(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2
))/((a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^4 + 4*(a*b - b^2)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + (a*b - b^2)*sinh(f*x + e)^4 -
(3*a*b - 2*b^2)*cosh(f*x + e)^2 + (6*(a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^2 - 3*a*b + 2*b^2)*sinh(f*x + e)^2 - b^2 + 2*(2
*(a*b - b^2)*cosh(f*x + e)^3 - (3*a*b - 2*b^2)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))) + 12*((a^3 - 6*a^2*b)*cosh(f*x +
e)^6 + 6*(a^3 - 6*a^2*b)*cosh(f*x + e)^5*sinh(f*x + e) + 15*(a^3 - 6*a^2*b)*cosh(f*x + e)^4*sinh(f*x + e)^2 +
20*(a^3 - 6*a^2*b)*cosh(f*x + e)^3*sinh(f*x + e)^3 + 15*(a^3 - 6*a^2*b)*cosh(f*x + e)^2*sinh(f*x + e)^4 + 6*(
a^3 - 6*a^2*b)*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^5 + (a^3 - 6*a^2*b)*sinh(f*x + e)^6)*sqrt(-b)*arctan(sqrt(2)*(cosh(
f*x + e)^2 + 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2 + 1)*sqrt(-b)*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*
x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x + e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2))/(b*cosh(f*x + e)^4 +
4*b*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^3 + b*sinh(f*x + e)^4 + 2*(2*a - b)*cosh(f*x + e)^2 + 2*(3*b*cosh(f*x + e)^2 +
2*a - b)*sinh(f*x + e)^2 + 4*(b*cosh(f*x + e)^3 + (2*a - b)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e) + b)) + sqrt(2)*(b^3
*cosh(f*x + e)^10 + 10*b^3*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^9 + b^3*sinh(f*x + e)^10 + (7*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e
)^8 + (45*b^3*cosh(f*x + e)^2 + 7*a*b^2 + b^3)*sinh(f*x + e)^8 + 8*(15*b^3*cosh(f*x + e)^3 + (7*a*b^2 + b^3)*c
osh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^7 + (6*a^2*b + 39*a*b^2 - 8*b^3)*cosh(f*x + e)^6 + (210*b^3*cosh(f*x + e)^4 + 6*a^
2*b + 39*a*b^2 - 8*b^3 + 28*(7*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^6 + 2*(126*b^3*cosh(f*x + e)^5 + 28
*(7*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^3 + 3*(6*a^2*b + 39*a*b^2 - 8*b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^5 - (6*a^2*b +
39*a*b^2 - 8*b^3)*cosh(f*x + e)^4 + (210*b^3*cosh(f*x + e)^6 + 70*(7*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^4 - 6*a^2*b -
39*a*b^2 + 8*b^3 + 15*(6*a^2*b + 39*a*b^2 - 8*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^4 + 4*(30*b^3*cosh(f*x + e)^
7 + 14*(7*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^5 + 5*(6*a^2*b + 39*a*b^2 - 8*b^3)*cosh(f*x + e)^3 - (6*a^2*b + 39*a*b^2
- 8*b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e)^3 - b^3 - (7*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^2 + (45*b^3*cosh(f*x + e)^8 + 28
*(7*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e)^6 + 15*(6*a^2*b + 39*a*b^2 - 8*b^3)*cosh(f*x + e)^4 - 7*a*b^2 - b^3 - 6*(6*a^2*
b + 39*a*b^2 - 8*b^3)*cosh(f*x + e)^2)*sinh(f*x + e)^2 + 2*(5*b^3*cosh(f*x + e)^9 + 4*(7*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x
+ e)^7 + 3*(6*a^2*b + 39*a*b^2 - 8*b^3)*cosh(f*x + e)^5 - 2*(6*a^2*b + 39*a*b^2 - 8*b^3)*cosh(f*x + e)^3 - (7
*a*b^2 + b^3)*cosh(f*x + e))*sinh(f*x + e))*sqrt((b*cosh(f*x + e)^2 + b*sinh(f*x + e)^2 + 2*a - b)/(cosh(f*x +
e)^2 - 2*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e) + sinh(f*x + e)^2)))/(b^2*f*cosh(f*x + e)^6 + 6*b^2*f*cosh(f*x + e)^5*si
nh(f*x + e) + 15*b^2*f*cosh(f*x + e)^4*sinh(f*x + e)^2 + 20*b^2*f*cosh(f*x + e)^3*sinh(f*x + e)^3 + 15*b^2*f*c
osh(f*x + e)^2*sinh(f*x + e)^4 + 6*b^2*f*cosh(f*x + e)*sinh(f*x + e)^5 + b^2*f*sinh(f*x + e)^6)]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cosh(f*x+e)**3*(a+b*sinh(f*x+e)**2)**(3/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (b \sinh \left (f x + e\right )^{2} + a\right )}^{\frac{3}{2}} \cosh \left (f x + e\right )^{3}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cosh(f*x+e)^3*(a+b*sinh(f*x+e)^2)^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((b*sinh(f*x + e)^2 + a)^(3/2)*cosh(f*x + e)^3, x)